Questão 157 do Caderno Amarelo do Enem 2023 - Segundo Dia | Matemática e Suas Tecnologias

(Enem 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

• algarismos de 0 a 9;

• 26 letras minúsculas do alfabeto;

• 26 letras maiúsculas do alfabeto;

• 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;

• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;

• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere p₁, p₂ e p₃ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

A ) tipo I, pois p₁ < p₂ < p₃.

B ) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.

C ) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.

D ) tipo III, pois p₃ < p₂ < p₁ .

E ) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Resposta Comentada da Questão Questão 157 do ENEM 2023: Probabilidade de Senhas

Explicação da resposta:

A questão envolve o cálculo da probabilidade de descobrir ao acaso uma senha de diferentes tipos, considerando um conjunto de caracteres permitidos. A resolução exige a aplicação de conhecimentos de probabilidade, combinação e permutação.

Para determinar a probabilidade de se descobrir cada tipo de senha ao acaso na primeira tentativa, precisamos considerar o número total de possíveis combinações para cada tipo.

Para o tipo I:

- Total de opções: 68 x 67x 66 x 65

Para o tipo II:

- Total de opções: 52 x 51 x 50 x 10 x 6 = 52 x 51 x 50 x 60

Para o tipo III:

- Total de opções: 52 x 51 x 10 x 9 x 6 x 5 = 52 x 51 x 54 x 60

Podemos observar que o tipo I tem o maior número de combinações possíveis, seguido pelo tipo II e, por fim, pelo tipo III.

Como a probabilidade de se descobrir a senha ao acaso é inversamente proporcional ao número de combinações possíveis, a menor probabilidade ocorre quando há mais combinações, ou seja, para o tipo I.

Portanto, a resposta correta é:

A ) tipo I, pois p₁ < p₂ < p₃.

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Dicas para gabaritar:

• Compreenda o problema: Identifique os tipos de senhas, o conjunto de caracteres permitidos e as restrições de cada tipo.

• Calcule o espaço amostral: Determine o número total de senhas possíveis para cada tipo.

• Calcule as probabilidades: Utilize fórmulas de combinação e permutação para calcular a probabilidade de cada tipo de senha.

• Compare as probabilidades: Determine qual tipo de senha possui a menor probabilidade.

• Verificação: Confirme se a resposta faz sentido no contexto da questão.

• Revisão: Revise seus cálculos e a lógica utilizada para garantir a precisão.