Questão 142 do Caderno Amarelo do Enem 2023 - Segundo Dia | Matemática e Suas Tecnologias

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1 , C2 e C3, como apresentados na figura.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1 ) = área (C2 ) + área (C3 ).

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

A ) 0° < α < 90°

B ) α = 90°

C ) 90° < α < 180°

D ) α = 180°

E ) 180° < α < 360°

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Alternativa: C

Explicação da resposta:

A questão envolve a aplicação do teorema de Pitágoras e do conceito de seno para determinar se a área da pizza do professor é maior do que a soma das áreas das pizzas dos amigos. A resposta correta depende da medida do ângulo formado pelos diâmetros das pizzas.

Resolução:

Análise da figura:

• Triângulo retângulo: formado pelos diâmetros das pizzas.

• Hipotenusa: diâmetro da pizza do professor (a).

• Catetos: diâmetros das pizzas dos amigos (b e c).

Teorema de Pitágoras:

• Área (C1) = Área (C2) + Área (C3)

• πa²/4 = πb²/4 + πc²/4

• a² = b² + c²

Cálculo da área da pizza do professor:

• Área (C1) = πa²/4

Cálculo da soma das áreas das pizzas dos amigos:

• Área (C2) + Área (C3) = πb²/4 + πc²/4

Comparação das áreas:

• Área (C1) > Área (C2) + Área (C3) se a² > b² + c²

• a² > b² + c² se a > b + c

Relação entre a medida do ângulo e a soma dos lados:

• Se a > b + c, então sen(α) > 1

• Como 0° < α < 180°, sen(α) ≤ 1

• Logo, a > b + c não é possível

Conclusão:

• A única condição possível para a área da pizza do professor ser maior é 90° < α < 180°.

Gabarito:

C) 90° < α < 180°

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Dicas para Gabaritar a Questão 142 do ENEM 2023: Pizza e Triângulo

1. Desvendando o Contexto:

• A figura apresenta um triângulo retângulo formado pelos diâmetros das pizzas.

• O professor desafia seus amigos a compararem as áreas das pizzas sem usar instrumentos de medição.

• A área da pizza do professor é maior que a soma das outras duas pizzas?

2. Dominando os Conceitos-Chave:

• Teorema de Pitágoras: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

• Seno: Razão entre o cateto oposto e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

• Triângulo retângulo: Triângulo com um ângulo de 90 graus.

3. Dicas Personalizadas para Resolver a Questão:

a) Compreendendo a Relação entre Área e Diâmetro:

• A área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu diâmetro.

• Logo, comparar áreas é equivalente a comparar os quadrados dos diâmetros.

b) Analisando o Teorema de Pitágoras:

• O teorema de Pitágoras se aplica ao triângulo formado pelos diâmetros.

• Área da pizza do professor = πa²/4

• Soma das áreas das outras pizzas = πb²/4 + πc²/4

• Comparar áreas se resume a comparar a² com b² + c².

c) Desvendando o Segredo do Ângulo α:

• O ângulo α está relacionado aos diâmetros b e c.

• Se a² > b² + c², então sen(α) > 1, o que é impossível para 0° < α < 180°.

• A única solução possível é 90° < α < 180°.

4. Verificação e Revisão:

• Confirme se a resposta está dentro do intervalo de alternativas (C).

• Revise seus cálculos e a lógica utilizada para garantir a precisão.

5. Confie em Seus Conhecimentos e Habilidades!

Com dedicação e prática, você estará mais preparado para gabaritar as questões de matemática do ENEM.

Lembre-se:

• Praticar com questões anteriores do ENEM é essencial para seu aprendizado.

• O gabarito é apenas uma sugestão, revise sua resolução para ter certeza de que está correta.

Boa sorte em seus estudos!