Questão 148 do Caderno Amarelo do Enem 2023 - Segundo Dia | Matemática e Suas Tecnologias

(Enem 2023) O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

A ) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.

B ) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.

C ) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.

D ) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.

E ) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Resposta Comentada da Questão 148 do ENEM 2023: Triângulo Mágico

Explicação da resposta:

A questão envolve um triângulo mágico com números de 1 a 6, onde a soma dos números em cada lado deve ser igual. A resolução exige a aplicação de conhecimentos de progressão aritmética e lógica para determinar as somas possíveis.

Resolução:

1. Análise do Triângulo Mágico:
   

• O triângulo possui seis círculos, cada um com um número de 1 a 6.

• A soma dos números em cada lado do triângulo deve ser a mesma.

• Os números nos vértices do triângulo formam uma progressão aritmética de razão 2.

1. Determinação das Sequências Possíveis:
   

• Como a razão da progressão é 2, as sequências possíveis para os números nos vértices são:

• 1, 3, 5

• 2, 4, 6

1. Análise das Sequências:
   

• Para cada sequência, determine as somas dos números em cada lado do triângulo.

• Sequência 1, 3, 5:

• Lado 1: 1 + 3 = 4

• Lado 2: 1 + 5 = 6

• Lado 3: 3 + 5 = 8

• Sequência 2, 4, 6:

• Lado 1: 2 + 4 = 6

• Lado 2: 2 + 6 = 8

• Lado 3: 4 + 6 = 10

1. Verificação das Somas:
   

• As únicas somas que se repetem em todos os lados do triângulo são 10 e 11.

1. Comparação com as Alternativas:

• A resposta correta é E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.